FAQ Statistische Physik

From Institute for Theoretical Physics II / University of Erlangen-Nuremberg

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Hier finden Sie: Fragen und Antworten zur Vorlesung "Statistische Physik und Thermodynamik", nützliche Hinweise und Bemerkungen zu häufigen Missverständnissen. Bitte senden Sie weitere Fragen oder Anregungen direkt an Florian Marquardt.

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  • Wie geht ein nicht-wechselwirkendes System ins Gleichgewicht? Z.B. das ideale Gas? - Antwort: gar nicht. Es müssen immer wenigstens schwache Kräfte zwischen den Teilchen vorhanden sein, damit durch Stösse die Energie umverteilt und so das Gleichgewicht hergestellt wird. Dasselbe gilt für die Wärmestrahlung: Photonen in einem leeren Kasten mit perfekt spiegelnden Wänden würden niemals ihre Frequenz ändern und daher niemals ins Gleichgewicht (Plancksches Spektrum) gelangen. Nur die Wechselwirkung der Photonen mit Atomen führt am Ende ins Gleichgewicht (Absorption und Re-Emission, evtl. mit dopplerverschobener Frequenz wegen der Atombewegung). In der Vorlesung rechnen wir gerne die Eigenschaften des Gleichgewichts solcher idealisierter nichtwechselwirkender Systeme aus (weil die am einfachsten und auch sehr wichtig sind). Das ist konsistent: Auch die schwächste Wechselwirkung würde ins Gleichgewicht führen (allerdings nach sehr sehr langer Zeit). Im Gleichgewicht dann kann man diesen kleinen Beitrag zur Energie vernachlässigen.
  • Wahrscheinlichkeitsdichte, -verteilung, Verteilungsfunktion etc. / Was ist was? - In der Vorlesung sprechen wir lose von der Wahrscheinlichkeitsverteilung, die entweder diskret ist (Wahrscheinlichkeitsfunktion P_n für quantenmechanische Niveaus) oder kontinuierlich (z.B. Wahrscheinlichkeitsdichte für eine Ortsvariable). Im kontinuierlichen Fall definiert man in der Mathematik noch Verteilungsfunktionen (Integral der Dichte), oder ganz allgemein Wahrscheinlichkeitsmaße (Funktion auf Mengen, die Ereignisse darstellen). Siehe den Wikipedia-Artikel.
  • Boltzmann zur Geschwindigkeitsverteilung - Siehe sein Buch von 1896 mit den Vorlesungen zur Gastheorie, welches online frei verfügbar ist. Darin findet sich u.a. der Beweis, dass die Stösse am Ende zur Maxwell-Boltzmann Geschwindigkeitsverteilung führen. In I.3 schreibt er: Wir wollen nun einen Augenblick annehmen, dass sich in dem Gefässe ein einziges Gas mit lauter gleichbeschaffenen Molekülen befindet. Die Moleküle sollen sich von nun an (…) auch im Zusammenstosse untereinander genau wie vollkommen elastische Kugeln verhalten (…) Im weiteren Verlaufe der Stösse würden bald, wenn die Anzahl der Moleküle eine sehr grosse ist, alle möglichen Geschwindigkeiten von Null bis zu einer Geschwindigkeit vorkommen, die erheblich grösser ist, als die ursprünglich gleiche Geschwindigkeit aller Moleküle, und es handelt sich darum, zu berechnen, nach welchem Gesetze in dem sich schliesslich bildenden Endzustande die verschiedenen Geschwindigkeiten unter den Molekülen vertheilt sein werden, oder, wie man kurz sagt, es handelt sich darum, das Geschwindigkeitsvertheilungsgesetz zu kennen.
  • Schwarzer Strahler / weshalb schwarz? Wie wird die Wärmestrahlung durch die Oberfläche beeinflusst? - Am besten stellt man sich einen leeren Kasten (Hohlraum) vor, mit spiegelnden Wänden, in dem die Wärmestrahlung gefangen ist (die Wechselwirkung mit den Atomen in den Wänden oder anderen Objekten im Kasten ist allerdings wichtig für das Erreichen des Gleichgewichts, siehe oben). Durch ein kleines Loch werden Photonen nach außen gelangen, die dann das Plancksche Spektrum haben (z.B. rotleuchtend bei Temperaturen von ein paar Tausend Kelvin in diesem "Ofen"). Würde man einen Farbfilter vor das Loch stellen, kämen nur Photonen mit bestimmten Frequenzen heraus, und man wird deshalb nicht mehr das Plancksche Spektrum beobachten. Daraus kann man schon durch Analogie schließen, dass die von einem beliebigen materiellen Körper abgestrahlte Wärmestrahlung durch die Beschaffenheit seiner Oberfläche beeinflusst wird (man stelle sich z.B. eine Fläche vor, die das ideale Spektrum abstrahlt, aber eine Atomlage darüber wirkt als "Farbfilter" und verändert so das Spektrum). Es gilt interessanterweise: Diejenigen Frequenzen, die besonders gut absorbiert werden (weil man Resonanzen in den Atomen trifft), werden auch besonders gut emittiert (Kirchhoffsches Strahlungsgesetz). Am besten ist deshalb eine Oberfläche, die Licht bei allen Frequenzen perfekt absorbiert, so dass sie (wenn sie aufgeheizt ist) auch bei allen Frequenzen gleich gut abstrahlt und damit das Planck-Spektrum emittiert. Solch eine Oberfläche ist offenbar (solang sie kalt ist) schwarz. Das kann man auch an dem Loch im Kasten sehen: Solange der Kasten kalt ist, sieht das Loch von aussen betrachtet schwarz aus.
  • Planck zur Wärmestrahlung - Seine Formel führte er Oktober 1900 auf einer Sitzung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft ein, um die neuesten experimentellen Ergebnisse wenigstens phänomenologisch darstellen zu können, d.h. ohne tiefere Erklärung: Sitzungsbericht 'Ueber eine Verbesserung der Wienschen Spectralgleichung' von M. Planck. Alle Details kann man sehr ausführlich und anschaulich bei Max Planck nachlesen, in seinem Buch zur Wärmestrahlung von 1906, das online frei verfügbar ist. Zum Beispiel zum Erreichen des Gleichgewichtes in einem Kasten mit spiegelnden Wänden schreibt er (§ 52): Man kann also eine ganz beliebige Strahlung, die anfangs in dem betrachteten evakuierten Hohlraume mit total reflektierten Wänden herrscht, durch Einbringung eines winzigen Kohlestäubchens in schwarze Strahlung verwandeln (Anm.: d.h. Strahlung mit dem Planckschen Spektrum). … Das Kohlestäubchen spielt dann lediglich die Rolle einer auslösenden Wirkung, indem es den Anstoß dazu gibt, daß in der ursprünglich vorhandenen Strahlung die Intensitäten der verschieden gerichteten, verschieden polarisierten Strahlenbündel der verschiedenen Schwingungszahlen sich auf gegenseitige Kosten verändern...
  • Planck zum Wirkungsquantum - (im oben genannten Buch §149) Auffallend an diesem Resultat ist zunächst das Auftreten einer neuen universellen Konstante h von der Dimension eines Produkts aus Energie und Zeit. … Es kann wohl keinem Zweifel unterliegen, daß die Konstante h bei den elementaren Schwingungsvorgängen in einem Emissionszentrum eine gewisse Rolle spielt, zu deren Ergründung von elektrodynamischer Seite her unsere bisherige Theorie jedoch keine näheren Anhaltspunkte liefert. Und doch wird die Thermodynamik der Strahlung erst dann zum vollständig befriedigenden Abschluß gelangt sein, wenn die Konstante h in ihrer vollen universellen Bedeutung erkannt ist. Ich möchte dieselbe als "elementares Wirkungsquantum" oder als "Wirkungselement" bezeichnen, weil sie von derselben Dimension ist wie diejenige Größe, welcher das Prinzip der kleinsten Wirkung seinen Namen verdankt.
  • Wie kommt man auf eine nichtlineare Wellengleichung? - In der Vorlesung wurde eine einfache Wellengleichung betrachtet, die durch einen nichtlinearen (phi^3) Term erweitert wurde, der dann zur Umverteilung der Energie zwischen verschiedenen Moden im k-Raum führte. Wie kommt man darauf? Ein einfaches Beispiel ist ein Gitter von Atomen, zwischen denen Kräfte wirken. Für kleine Auslenkungen sind die Kräfte linear in der Auslenkung, aber für größere Auslenkungen gilt das nicht mehr. Die Korrekturen kann man im Sinne einer Taylorentwicklung aufschreiben (F=k*x+k2*x^2+k3*x^3+...). Manchmal fallen davon aus Symmetriegründen einige Terme weg (deshalb phi^3 statt phi^2, was ausserdem zu einer Instabilität führen würde). Solche anharmonischen Terme in den Kräften zwischen Atomen sind z.B. wichtig für die thermische Ausdehnung eines Kristallgitters, und natürlich (s. oben) entscheidend dafür, dass überhaupt das Gleichgewicht der Gitterschwingungen hergestellt wird. Z.B. wird nach einem Schlag auf einen Kristall zuerst eine Schallwelle durch den Kristall laufen, deren Energie nach und nach durch solche nichtlinearen Kräfte auf andere Wellenlängen umverteilt wird, und schliesslich ins Gleichgewicht bei einer leicht erhöhten Temperatur mündet.